MODELO EOQ CON DESCUENTOS POR CANTIDADES

El  único modelo donde el Costo unitario cambia es en el de descuentos por cantidad, es decir que al cliente se le hace más atractivo comprar por volumen. El costo del volumen, incurre en el costo de mantener inventario. A menudo esto ocurre, cuando los proveedores en aras de vender más, incentivan a sus clientes por medio de descuentos en el costo unitario, otorgados por cantidades mayores de pedidos.

El objetivo de este modelo es minimizar el costo total, por ello cuando se muestran las diferentes alternativas con sus respectivos descuentos, quizá se cae en la tentación de escoger el de mayor cantidad por su menor costo, sin embargo, hay que tener en cuenta que a medida que aumenta la cantidad también aumenta el costo de mantener inventario pese a que los pedidos son grandes. Para que esto no pase se debe tener en cuenta que debe existir una compensación entre el costo de pedir y el costo de mantener inventario, y de esta manera escoger la opción que minimice el costo total  para tomar una buena decisión

El modelo de descuentos por cantidad, se basa en la comparación de costos, en donde la cantidad optima a pedir, es aquella donde se reduzcan los costos totales, de esta forma, podemos decir, que aplicamos este modelo siguiendo los pasos dados a continuación:

Paso 1: Para cada categoría de descuento, se calcula un Q* usando la formula de EOQ, basados en el costo unitario asociado para cada categoría de descuento.

Paso 2: En caso de que el Q* sea demasiado pequeño para clasificar entre una categoría de descuento que se quiere tomar, ajustarlo, acercándolo al  mínimo de cantidad que se puede pedir para clasificar en el descuento. Y si por el contrario este es demasiado grande, ajustarlo, a la cantidad máxima que se puede pedir para clasificar en la categoría de descuento. 

Paso 3: Para cada cantidad, ordenar el resultante de los pasos 1 y  2, calcular el costo total anual usando el costo unitario para la categoría de descuento apropiada. Y de esta forma la cantidad que produzca el costo total anual mínimo es la cantidad óptima a ordenar.

EJEMPLO.

1. Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades. El costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha estimado que el costo anual de almacenar una unidad en inventario es un 20% del costo de adquisición del producto. ¿Cuál es la cantidad de la orden que minimiza el costo total del inventario?.

Tamaño del Lote (Unidades)	Descuento (%)	Valor del Producto ($/Unidad)
0 a 999	0%	5
1.000 a 1999	4%	4,8
2.000 o más	5%	4,75

Para dar respuesta a esta situación se propone seguir los siguientes pasos:

PASO 1: Determinar el tamaño óptimo de pedido (Q*) para cada nivel o quiebre de precios.

PASO 2: Ajustar la cantidad a pedir en cada quiebre de precio en caso de ser necesario. En nuestro ejemplo para el tramo 1 Q(1)=700 unidades esta en el intervalo por tanto se mantiene; para el tramo 2 Q(2)=714 está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(2)=1.000; finalmente en el tramo 3 Q(3)=718 que también está por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(3)=2.000

 

PASO 3: Calcular el costo asociado a cada una de las cantidades determinadas (utilizando la fórmula de costo total presentada anteriormente).

Costo Tramo 1 = C(700)=$25.700

Costo Tramo 2 = C(1.000)=$24.725

Costo Tramo 3 = C(2.000)=$24.822

Se concluye que el tamaño óptimo de pedido que minimiza los costos totales es 1.000 unidades, con un costo total anual de $24.725.

MODELO LEP CON FALTANTES

El modelo de lote económico de producción con faltante es una extensión del modelo  EOQ con faltantes, en el que todas las mercancías llegan al inventario en una ocasión y están sujetas a una tasa de demanda constante. Lo que en este modelo, sucede  es que una vez mas se permiten los faltantes, es decir que el cliente esta dispuesto a esperar unas cuantas semanas o un limite de tiempo, para que el fabricante pueda responder a su pedido.  En este modelo, lo que se plantea es que al  momento de consumirse mi inventario total, se permite un tiempo en el que no se fabrica, sino que actúa la demanda sola, causando que haya pedidos atrasados. Este modelo también planea costos de mantener en inventario, costos e faltantes, costos de ordenar, costos de adquirir. Así, mismo aparece la cantidad S que nos refleja la cantidad de pedidos atrasados máximo que la empresa puede permitir, para volver a iniciar la producción.

2= Tiempo en que se agota el inventario máximo

t4+t3=tiempo que demora la maquina prendida

t2+t3= Tiempo que transcurre desde que empieza a consumirse el inventario máximo hasta el máximo faltante.

t3=Tiempo en el que el sistema alcanza su máximo faltante

t= tiempo que transcurre desde que se prende la maquina hasta que se vuelve a prender.

R= Ritmo de producción o cantidad que se produce diariamente

S= Máximo Faltante

Q= Imax + S

COSTO DE UN PERIODO

Costo de un periodo

COSTO TOTAL ANUAL

CANTIDAD OPTIMA A PEDIR.

Se obtiene al derivar con respecto a Q la función de CTA

FALTANTE MAXIMO ÓPTIMO.

Se obtiene al derivar con respecto a S la función de CTA

NUMERO DE PEDIDOS ÓPTIMOS.

TIEMPO DE CICLO ÓPTIMO.

PUNTO DE REORDEN.

MODELO LEP SIN FALTANTES

 Es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido  a una tasa finita de producción. Su principio es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan

Para el modelo rige los siguientes supuestos:

•           La demanda es conocida y constante.
•          No se admiten faltantes.
•         Se producimos a una tasa R y siempre es mayor que la demanda d periódica.
•           Los costos son constantes.
•           La reposición en el inventario es instantánea.

C_mi: Es el costo de mantener una unidad en inventario.

C_op: Costo de  producción.

C_u: Costo unitario de producto.

El costo total en un tiempo t con relación a Q es:

Reemplazando tenemos

como sabemos que 

Podemoas hallar el costo anual multiplicando por la ecuación anterior, luego

Derivamos esta ultima ecuación para obtener el Q* optimo

EJEMPLOS.

1.Un gran productor de medicina para los ojos produce sus provisiones en remesas, el costo de preparación para cada remese es de $1500. De la producción se obtiene 96 galones diarios del producto y cuesta $0.12  cada unida mantenerla en inventario. La demanda constante es de 1200 galones al mes. Suponga 12 meses un año, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad óptima de producción 

Solución

Cop= 1500

R=96 galones/diarios (25dias/mes)

Cmi=0.12

D=(1200/mes)

 Q*= {[(2Cop.D)]/Cmi [1-(D/R)]}^1/2      

Q*={[(2*1500*1200)]/0.12(1-(1200/2400))}^1/2

Q*= [3600000/0,06] ^1/2

Q*=[60000000] ^1/2

Q*=7745.9 Unidades

MODELO EOQ CON FALTANTES

Este modelo considera los mismos supuesto que el modelo EOQ Sin faltante, en lo único que difiere es que éste SI admite faltantes.

A este tipo de Modelo se atribuyen costos igualmente por adquisición, por pedidos, por inventario, pero además de ellos también se entra a considerar un costo por faltantes denotado como Cf. No obstante, en la gráfica se aprecia que despejar todo en función de la cantidad Q no es la manera más apropiada para hallar la función de Costos de un pedido en un período, para esto se debe trabajar en función de las variables Q y S, la función está dada por:

Donde Imáx es el inventario máximo en un solo período. Así mismo, a partir de la gráfica podemos deducir las siguientes relaciones:

Teniendo en cuenta lo anterior, reemplazamos en la función de costos de un pedido obteniendo:

Asimismo, multiplicando esta expresión por N podemos determinar el Costo total en un tiempo prolongado, por ejemplo anual. Esto es:

 a partir de las derivadas parciales de cada variable independiente igualada a cero, tendremos que:

Desarrollando (2) con (2Q^2) como mínimo común denominador, así como Q y (Q-S) de (1) de nos queda:

Reemplazando Q y (Q-S) en (3) podemos despejar nuestra S óptima, la cual está dada por:

Reemplazando la S* hallada podemos calcular nuestra Q óptima, dada por:

 

EJEMPLOS.

1.Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 40000 armazones para lentes la clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 18  dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 60 dólares.

La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse y que el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 20 centavos por dólar  del valor del costo faltante.

¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?

¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?

¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará?

Solución

D=40000

Cu=18$

Cp=60$

Cf=15$

Cmi=0.2(Cf)=0,2(15) à Cmi=3$

Q * = { [ 2CpD(CmI + Cf )] / (CmI Cf)}^1/2

Q* ={ [2*60*40000)(3+15)]/(3*15)} ^½

Q*=[192000]^1/2

Q*= 1385.6 armazones

S* =   { [ 2CpD CmI / ( Cf) (CmI + Cf) }^1/2 

S* = [2*60*40000*3/(15)(3+15)] ^1/2 

S*= [266666.66] ^1/2 

S*= 516.39 à Maximo Faltante

2.Un agente de Mercedes Benz debe pagar $20,000 por cada automóvil que compra. El costo anual de almacenamiento se calcula en 25% del valor del inventario. El agente vende un promedio de 500 automóviles al año. Cree que la demanda se acumula, pero calcula que si carece de un automóvil durante un año, perderá ganancias futuras por $20,000. Cada vez que coloca un pedido de automóviles, sus costos suman $10,000. a) Determine la política óptima de pedidos del agente

b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?

Cu= 20000 por auto

Cmi = 0,25(inv)à 0,25 (2000)=5000

D= 500 Autos/año

S=?

Cf=20000/año

Cp=10000

Hallar Q*

Q*=[(2)(500)(1000)(0,25(20 -2000))/5000(20000)]^1/2

Q*= 50 Autos

S*= [(2)(500)(5000)(10000)/(5000+20000)(20000)] ^½

                S*= 10 Autos à Faltante máximo!

Inv(Max)= Q*-S* à Imax= 50-10=40

N=500/50=10

CT= Cmi + Cp + Cf

CT= ½(10)²(500)/50 + (10000)(500)/50 + ½ (10)²(20)/50

CT= 200000$ Anual

MODELO EOQ SIN FALTANTE

El modelo EOQ (Economic Order Quantity) o cantidad económica de pedido es uno de los modelos inventarios a estudiar. Este parte de los siguientes supuestos:

1. No se admiten faltantes. Es decir, siempre se va a suplir la demanda del cliente con la cantidad requerida por este. 
2. Existen costos tanto de almacenamiento como costo de pedir*. 
3. Los costos se mantienen constantes. 
4. La reposición en el inventario es instantánea, ya que se plantea que no hay un tiempo de demora por pedidos, y que además, la cantidad de reaprovisión es la correcta (es decir, igual a la solicitada).

*Costo de pedir se refiere al dinero involucrado en el pago de transporte o de métodos de almacenamiento de mi producto al momento de ser transportado y que el proveedor no reconoce como propios.

Entonces, el costo por periodo respecto a Q, estará dado de la siguiente forma:

El resultado de t tiene como unidades la unidad de tiempo utilizada en la demanda.

Teniendo estas tres ecuaciones, si se quiere hallar el costo anual de inventario, tenemos que multiplicar la ecuación (2) por (1).

Si queremos hallar el valor de Q óptimo (Q*) con el que los costos Cmi y Cp se me equilibren, es necesario derivar la ecuación anterior respecto a Q, y se iguala a 0 y se despeja Q. este proceso es analógico con el hallar máximos y mínimos de una función.

 

 

EJEMPLOS.

1.Un distribuidor que posee un almacén de productos de consumo y que debe abastecer una demanda anual de 15.000 unidades considera que sus costes totales de almacenamiento son elevados. Se conoce que cada unidad es adquirida a un precio de  120 u.m., que el coste de manejar un pedido es 25 u.m. y que el coste de tener  almacenada una unidad de producto durante un año es 10 u.m.. Se pide:

a) Calcular:

• el coste total de la gestión anual de este almacén.
• el lote económico.
• el número de pedidos al año y cada cuanto tiempo.

Solución

D=15000

Cu=120 u.m

Cop=25 um

Cmi= 10 um

Q* = (2CpD/Cmi)^1/2

Q*= [(2)(25)(15000)/10]^1/2

Q*= 273.86

CTA (Q*) =  CuQ + CopD/Q + CmQ/2

CTA(Q*)= (120)(273) + (25)(15000/273.86) + (10)(273.86)/2

CTA(Q)= 32760 + 1369.3 + 1369.3

CTA(Q)= 35498.6

Costo G. Inventario = CopD/Q + CmQ/2

Costo G. Inventario  =(25)(15000/273.86) + (10)(273.86)/2

Costo G. Inventario  =1369.3 + 1369.3

Costo G. Inventario  =2738,6$

N=D/Q*

N= 15000/273.86

N=54.77

T=Q*/D

T= 273.86/15000

T=0,08 (Años)

MODELOS DE INVENTARIOS

Los inventarios son un puente de unión entre la producción y las ventas. en una empresa manufacturera el inventario equilibra la línea de producción si algunas maquinas operan a diferentes volúmenes de otras, pues una forma de compensar este desequilibrio es proporcionando inventarios temporales o bancos. Los inventarios de materias primas, productos semiterminados y productos terminados absorben la holgura cuando fluctúan las ventas o los volúmenes de producción, lo que nos da otra razón para el control de inventarios. Estos tienden a proporcionar un flujo constante de producción, facilitando su programación.

Los inventarios de materia prima dan flexibilidad al proceso de compra de la empresa. Sin ellos en la empresa existe una situación caótica, comparándose la materia prima estrictamente necesaria para mantener el plan de producción, es decir, comprando y consumiendo.
Entre los modelos de inventario encontramos los siguientes:

INVENTARIOS

Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del negocio o para ser consumidos en la producción de bienes o servicios para su posterior comercialización. Los inventarios comprenden, además de las materias primas, productos en procesoy productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o en la prestación de servicios; empaques y envases y los
inventarios en tránsito.
Los inventarios segun la demanda se clasifican en:

• Demanda Dependiente 
• Demanda Independiente

Demanda independiente: Es el requerimiento que sale indirectamente de la necesidad del mercado. Aqui desconocemos el numero. Esta demanda tiene que ser constante. 

Se subdivide en:

Demanda Independiente Constante.

• EOQ: El cual puede ser sin faltante y con faltante.
• LEP : Puede sin faltante y con faltante.
• EOQ: Por descuento y volumen.

Demanda Independiente Variable.

• EOQ: Con demanda probabilistica.
• Simulacion.
• Revision.
• Heuristicos.

Un inventario  puede ser :

• De Materia Prima.
• Productos en Proceso.
• Producto Terminado.