TEORIA DE JUEGOS

La teoría de juegos estudia la conducta optima cuando os costos y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano sino que dependen de las elecciones de otros individuos.

Maneja situaciones de decisión en las que hay dos ponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios; ejemplo: lanzamiento de campañas publicitarias para productos que compiten, y la planeación de estrategias bélicas de los ejércitos contrarios.

Von neuman fue el primero que estableció un nexo entre la noción de equilibrio y la de punto fijo de una función; realmente de la misma manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la función; un equilibrio es fijo cuando esta sometido a distintas  fuerzas de las cuales él es el resultante.

APLICACIONES.

La teoría de juegos puede ser aplicada en las siguientes ramas:

• Mercadeo
• Política
• Economía
• Filosofía
• Contratos
• Guerras militares
• Guerras comerciales
• Marketing para la competencia en los mercados
• Negociaciones domésticas
• Negociaciones comerciales
• Negociaciones colectivas-Alianzas .

PARABOLOIDE HIPERBOLICO.

Al paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.

JUEGOS.

Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

 TIPOS DE JUEGOS.

Juegos simétricos

Un juego asimétrico

	E	F
E	1, 2	0, 0
F	0, 0	1, 2

Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quién las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.

Juegos Asimétricos.

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.

 ESTRATEGIAS.

Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que se tiene una estrategia.

Un estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego.se explicita antes que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente.

 

Estrategia Aleatorizado

Es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.

Estrategia dominante

Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego. 


PUNTO SILLA.

El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego.

MATRIZ DE PAGO.

Llamada tambien matriz de recompensa; es una matriz que resume la informacion dada por las por la funciones de pago en un juego rectangular o en un juego extensivo en su forma normal.




JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS.


El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del puno silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no es injusto o parcial.
Un juego estrcictamente detreminado si tiene por lo menos un punto silla, esta sujeto a las siguientes condiciones:

• Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

• Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS.

Estos juegos tienen mas de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla porque el numero menor de todos los máximos de las columnas no es igual  al numero mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.

VALOR DEL JUEGO.

Es el pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugado aceptará formar parte de la coalicion di no recibe como pago el valor del juego.

JUEGO DE SUMA CERO.

En un conflicto de juego hay dos oponentes llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad ( finita o infinita ) de alternativas o estrategias. Asociada con cada par de estrategias hay una recompensa que paga un jugador al otro; enonces la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro.

El mejor ejemplo de esto es el póquer, donde los jugadores ponen el dinero en el centro, y alguien se lo lleva todo cuando gana.

EJERCICIO.

Considere el siguiente juego.

		Acción Columna
			A	B	C
Acción Renglón	1		0	-1	1
	2		0	0	2
	3		-1	-2	3

Pues las entradas de Renglón 2 son ≥ las entradas correspondientes en Renglón 1, entonces Renglón 2 domina a Renglón 1.

Pues las entradas de Columna B son ≤ las entradas correspondientes en Columna A, Columna B domina a Columna A.

Reducir el juego más arriba por predominio

Pues Renglón 2 domina a Renglón 1, eliminamos Renglón 1 para obtener

		A	B	C
2		0	0	2
3		-1	-2	3

Pues Columna B ahora domina a ambas Columnas A y C, eliminamos las dos Columnas A y C para obtener

		B
2		0
3		-2

Pues el primero renglón domina ahora al último renglón, eliminamos el último renglón, y estamos reducidos a la siguiente matriz 1×1

		B
2	(	0	)

CADENA DE MARKOV

Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.

Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinámica de las averías de máquinas para decidir política de mantenimiento; evolución de una enfermedad,etc.

El nombre de cadenas de Markov se debe al matemático ruso Andrei Andreevich Markov

(1856 -1922), quien las definió por primera vez en un artículo de 1906 que trataba la ley de

Los grandes números y posteriormente demostró muchos resultados estándar sobre ellas.

Su interés en estás sucesiones se originó en las necesidades de la teoría de la probabilidad;

Markov nunca trato sus aplicaciones a las ciencias.

   Una Cadena de Markov (CM) es:

•        Un proceso estocástico.

•         Con un número finito de estados (M).

•         Con probabilidades de transición estacionarias.

•         Que tiene la propiedad markoviana.

Ejemplos de un proceso estocástico:

1. Serie mensual de ventas de un producto
2.  Estado de una máquina al final de cada semana (funciona/averiada)
3.  Nº de clientes esperando en una cola cada 30 segundos
4.  Marca de detergente que compra un consumidor cada vez que hace la compra. Se supone que existen 7 marcas diferentes
5.  Nº de unidades en almacén al finalizar la semana

Elementos de una cadena de markov.

–     Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)

–    Ciclo de markov (“paso”) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar  las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)

–     Probabilidades de transición entre estados, en un ciclo (matriz P)

–     Distribución  inicial del sistema entre los M estados posibles

 MATRICES.

Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.

Matriz Fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

 Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna

 

Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii  constituye la diagonal principal

La diagonal secundaria la forma los elementos con i + j = n + 1.

 

Matriz Nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
 

 

Matriz Triangular Superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal son ceros.
 

 

Matriz Triangular Inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 

 


 

Matriz Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
 

 

Matriz Identidad o Unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
 

 

Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta de A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas.
 

 

Matriz Regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada  que tiene inversa.

MATRIZ INVERSA.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos: 

Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es

2. A través de la matriz de adjuntos
Dada una matriz A, determinamos la matriz de adjuntos de su traspuesta. Si multiplicamos esa matriz por 1/|A| se obtiene la matriz inversa de A.

ESTADO ABSORBENTE.

Un estado i es absorbente, si pii es 1. Es decir, si cuando el sistema cae en el estado i, no

vuelve a salir de ´el. Es un caso especial de conjunto cerrado, en que el conjunto contiene

Solo el estado i.

ESTADO RECURRENTE.

Un estado j es recurrente si fjj = 1. Además  si, después de haber entrado a este estado, el proceso definitivamente regresara a ese estado. Por consiguiente, un estado es recurrente si y solo si no es transitorio.

Un estado i es periódico con periodo K > 1 si K es el numero más pequeño tal que la trayectoria que conducen del estado i de regreso al estado i tienen una longitud que es múltiplo de K. si un estado recurrente no es periódico, se conoce como aperiódico.

ESTADO ERGODICO.

Una cadena de Markov es ergódica si todos sus estados son no nulos, no periódicos y

recurrentes.