CADENA DE MARKOV

Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.

Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinámica de las averías de máquinas para decidir política de mantenimiento; evolución de una enfermedad,etc.

El nombre de cadenas de Markov se debe al matemático ruso Andrei Andreevich Markov

(1856 -1922), quien las definió por primera vez en un artículo de 1906 que trataba la ley de

Los grandes números y posteriormente demostró muchos resultados estándar sobre ellas.

Su interés en estás sucesiones se originó en las necesidades de la teoría de la probabilidad;

Markov nunca trato sus aplicaciones a las ciencias.

   Una Cadena de Markov (CM) es:

•        Un proceso estocástico.

•         Con un número finito de estados (M).

•         Con probabilidades de transición estacionarias.

•         Que tiene la propiedad markoviana.

Ejemplos de un proceso estocástico:

1. Serie mensual de ventas de un producto
2.  Estado de una máquina al final de cada semana (funciona/averiada)
3.  Nº de clientes esperando en una cola cada 30 segundos
4.  Marca de detergente que compra un consumidor cada vez que hace la compra. Se supone que existen 7 marcas diferentes
5.  Nº de unidades en almacén al finalizar la semana

Elementos de una cadena de markov.

–     Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)

–    Ciclo de markov (“paso”) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar  las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)

–     Probabilidades de transición entre estados, en un ciclo (matriz P)

–     Distribución  inicial del sistema entre los M estados posibles

 MATRICES.

Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES.

Matriz Fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

 Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna

 

Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii  constituye la diagonal principal

La diagonal secundaria la forma los elementos con i + j = n + 1.

 

Matriz Nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
 

 

Matriz Triangular Superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal son ceros.
 

 

Matriz Triangular Inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 

 


 

Matriz Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
 

 

Matriz Identidad o Unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
 

 

Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta de A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas.
 

 

Matriz Regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada  que tiene inversa.

MATRIZ INVERSA.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos: 

Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es

2. A través de la matriz de adjuntos
Dada una matriz A, determinamos la matriz de adjuntos de su traspuesta. Si multiplicamos esa matriz por 1/|A| se obtiene la matriz inversa de A.

ESTADO ABSORBENTE.

Un estado i es absorbente, si pii es 1. Es decir, si cuando el sistema cae en el estado i, no

vuelve a salir de ´el. Es un caso especial de conjunto cerrado, en que el conjunto contiene

Solo el estado i.

ESTADO RECURRENTE.

Un estado j es recurrente si fjj = 1. Además  si, después de haber entrado a este estado, el proceso definitivamente regresara a ese estado. Por consiguiente, un estado es recurrente si y solo si no es transitorio.

Un estado i es periódico con periodo K > 1 si K es el numero más pequeño tal que la trayectoria que conducen del estado i de regreso al estado i tienen una longitud que es múltiplo de K. si un estado recurrente no es periódico, se conoce como aperiódico.

ESTADO ERGODICO.

Una cadena de Markov es ergódica si todos sus estados son no nulos, no periódicos y

recurrentes.